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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ~1X;q  
aRVx|sA  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. :<%%Bn7k  
? rd`T%Ah  
　　1、三角函数本质： P #Q7GZ*gc  
vnL_. V  
　　三角函数的本质来源于定义 7ZM ?mIOV  
o^m8\:q  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 A}ztS/"o`_  
`8df4a9^`  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 tr/Fae1  
9^I_c.ar  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： X61>:je"  
UB R/#,9M  
　　推导： CUM4z}4  
$ &z4Ia[  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 nX@*]8 ~u  
s Lx>M  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) AL< jG  
4\3/yz/7  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) b|Numm>d  
p-P >PI  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ,Ta1 uir  
Sm\)"')#>F  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） l0`TJ(_Lj  
s5?)2+l0  
　　[1] < K>'4U  
M4iH}C|/F  
　　两角和公式 l@B/zrs  
*,]=EP'  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ud Rm4r  
Fu\m B  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  pR(7N">  
(1P`?D~Io  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB RoHYh% t  
^f&mSk0h  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB buHMip-q  
h )b}|][  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) Ev8 oJzs  
etD%Ll  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) G~MbF"9e  
|ekLQN /=  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  K-*-0~CW  
Z}-zLs{  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) WPNU3V0Wso  
pZUEWP r  
倍角公式 P7V\@.iw  
c:?`:(p,  
　　Sin2A=2SinA•CosA _I/f!  
On(&u 5~  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 <} })j F  
 x; Qd-#  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 1P=e  
U-| xO& 7  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） zl3!qVC  
rq6<Uh<kU  
三倍角公式 yaz,  
9@iBRY  
　　 %S7mVk_ ,  
6V%"D  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) RK0[&fW  
A;/PZU@  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) {[^fe_R  
c,WT K[-  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) *jed<1W  
-wF24{w?=  
三倍角公式推导 Jd9X,O !  
k>v #>`%  
　　sin3a B?S)*V<l`p  
k '1od|  
　　=sin(2a+a) gC!^iGUE  
QT1*-fk})  
　　=sin2acosa+cos2asina $$;"p  
+QeX RDd^  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 39i+b{N)  
-#+kO  
　　=3sina-4sin³a g8W!K7z  
6 r/DL"  
　　cos3a M..B$w  
 x  
　　=cos(2a+a) q.+o.3{n,&  
vE%2[zq  
　　=cos2acosa-sin2asina ](0E %:91i  
W~!9{+Dq  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa lS RNX}\F  
`5gViXP=L  
　　=4cos³a-3cosa :k+5i=)VA  
kx@BQM  
　　sin3a=3sina-4sin³a 8NA.0}/I  
{T$A>u  
　　=4sina(3/4-sin²a) ZN[n_ELV  
og*::g  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] q[ It~m_*  
JSjWlO@  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) o bWZ^P  
WT]C(SR7  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) QkjMOm!W  
MP:V__Vmn  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] "rxZ=.auj  
p3rgqk  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) }6j5V/km  
u+W@B1''#C  
　　cos3a=4cos³a-3cosa Qlowk}d  
VM?*r[c!  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ;!!c|j3N  
{z'KbN*V  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] S/=E%6F  
J_L4U}h  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) {a)r5c'/  
QGHRqe^W  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) wrWwryb_  
r("eI7$Z\  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} KY/ AxD   
n<ziVzc  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) {[*Gz7dA  
n] @wE#"j  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] }!$E_f#|  
"]SdO"z  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 8AV35Ao  
k2q=;csk  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 7B [,qu  
O85z;/ ]O  
　　上述两式相比可得 Bj8S@i  
RaE>p1nE&q  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) #v+# ~n  
~*IJ5s4:p  
半角公式 tj sCX0#  
Ea{Y;W U0  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); K7 &_=A  
$G<j7+?@  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ]x]QXJ^Yh  
SGsf<'O7]  
和差化积 #/,sJg  
h!nSR5I;P  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] (`z Tzp?  
oL h4dZb  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] eQ?i11Wff  
UR i0;W1  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] HeAT %}j_  
!o~K[SJ$k  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] +HRQ%|  
X ^R{~/y  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) F$6)cWK  
>y#>cn.p!'  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ~4 K' n4  
wiN4g?=)e  
积化和差 bc5MC7A*@  
?s>vlU{}  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] @ EX 9]c  
FHn%z\1X  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] )*QC5j?4e  
YBS C_.O  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ,F=hthc  
B[y@wTg  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Sib{aWo,X  
w{+Sq6)k7  
诱导公式 8k{IQ8)s  
:l0?]gw  
　　sin(-α) = -sinα 'PDUjy?Zy  
jmY~7S  
　　cos(-α) = cosα ?~/m0x@<  
+ M3cLDz  
　　sin(π/2-α) = cosα f55*mj H/  
S)`el5Q2R  
　　cos(π/2-α) = sinα :2EV Ro7X$  
xA 1(#3  
　　sin(π/2+α) = cosα Q2Qpi8iZSk  
M*6A>ZF&$  
　　cos(π/2+α) = -sinα *Kr#Mg*~8  
BUMa\)w  
　　sin(π-α) = sinα f|<iFz n.  
}BAUm"  
　　cos(π-α) = -cosα 8!lZVnX<  
Dj' p %>  
　　sin(π+α) = -sinα JyWtK t  
$TENspO   
　　cos(π+α) = -cosα @tIR'X(;u|  
?N#RbwFV  
　　tanA= sinA/cosA 7#g7*n  
G ~9[z"  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα H V%~<iQ\  
@HS6i_yMb  
　　tan（π/2－α）＝cotα |1 B-xDb  
6(GK`5j""  
　　tan（π－α）＝－tanα  LJyY  
ku}bH /=  
　　tan（π＋α）＝tanα  !PULK"Lo  
!Ecp0>U8  
万能公式 43',<<S~  
d{ o#@  
　　 -u$(PW  
WN!* /cYu  
其它公式 [3by#)3d&  
d@z|~bnV  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 -;lF \p8B  
ugtpR;K3  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 h[uZO3\d&  
`u/w^{K$K  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 Q3pbv H&hm  
xC~\e@  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ](j TKk5  
p^qQs  
　　对于任意非直角三角形,总有 o'^i76.+3  
`W.ZMoa!R  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC \ #\@(@bT  
n@fq# h*M  
　　证: 54tqsHZ  
ipW%(5QW  
　　A+B=π-C Z3E:m{IC  
zq,j\pA  
　　tan(A+B)=tan(π-C) |/?}X8p5  
hWfrbhwp  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) dHG]}gK  
[P@Z]0 Ij  
　　整理可得 }ysU\I$.!  
XADa`sUl_8  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 2vfo $  
[ kE pec4i  
　　得证 s:33;SM8  
=C#?E<I[s  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 +ki_ 7  
1%*'L%p>8<  
其他非重点三角函数 'KzvzA.4[  
iwxFYX  
　　csc(a) = 1/sin(a) ?+LB,z"e  
w FhO9  
　　sec(a) = 1/cos(a) (`& Zz}U  
mh;1KCFR  
　　 tu4q*RDg  
]O ]-Ht   
双曲函数 % }vlp{   
x<WP"UAz  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 Oa4Y0:MH  
-)A8^8^*p  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 7Q ^A\  
yTB=>].sQ  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) I$Kjd'%vw  
b_F*# f  
　　公式一： n.JNqA>  
ITgXF<Lr  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 9~bZJu}  
/&wft/oM  
　　sin（2kπ＋α）= sinα /$*l$M^  
0{Jwe0]p  
　　cos（2kπ＋α）= cosα ~f$HY#$  
-#SvlKc-  
　　tan（kπ＋α）= tanα zWBlr3m n  
?aa*.v<X  
　　cot（kπ＋α）= cotα LNc$2vdYy  
||y8+F  
　　公式二： reEtjq  
[ +=TF VW  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： TIf4,KS  
G{ /QGa  
　　sin（π＋α）= -sinα E5}oNjj]!#  
`+y?I719@  
　　cos（π＋α）= -cosα 9%U$ .i  
c^QX{pG:Dq  
　　tan（π＋α）= tanα :- l>@l&  
!XS/)A)890  
　　cot（π＋α）= cotα u4v{DU!  
)sLaZGu  
　　公式三： FIxng%ej  
)YM=' J;=  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 5a>` R&Y  
,>w =~[4+  
　　sin（-α）= -sinα P4S}DrhGi  
%(I 7y\  
　　cos（-α）= cosα e%SE8Rc}  
t=Q>H].  
　　tan（-α）= -tanα :Zo $"xyt  
' H0|EJG;  
　　cot（-α）= -cotα +{ZX]7qV:  
5P=g;Ar  
　　公式四： x#<h9wGY V  
%EeyOee   
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： qpmO3>&Q  
RGnd"3ua{  
　　sin（π-α）= sinα |#7j=a8#  
p{@5JD`[A`  
　　cos（π-α）= -cosα d7%&y\$H  
x!dZP<U  
　　tan（π-α）= -tanα jaI)1rBH-$  
=0n:dWBF  
　　cot（π-α）= -cotα JcA2rC"  
+dA/U-t_  
　　公式五： [E57Z5:]`  
^7;o/u0  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： d?Y>G 2BA~  
I(U 6:}!Q  
　　sin（2π-α）= -sinα OmifwNzq+  
Z-]@j lP6D  
　　cos（2π-α）= cosα (`x4{j  
ZXw=^[Pn"  
　　tan（2π-α）= -tanα @\'N t(}h  
0=SyoVtw  
　　cot（2π-α）= -cotα PrlM |=6v  
=tc~A}lV1  
　　公式六： wI`]-0R  
!7 =US$  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： q0g]?B"  
"lNgEund  
　　sin（π/2+α）= cosα s?VE)tz  
,^K8tg3^:  
　　cos（π/2+α）= -sinα )EjI]2#  
"s CId#&l  
　　tan（π/2+α）= -cotα lAHG}id@  
3`jXWz#C:  
　　cot（π/2+α）= -tanα <W+X;IHU  
[(Q}t%\  
　　sin（π/2-α）= cosα &N  
sliRA/QM7  
　　cos（π/2-α）= sinα My;wxtO  
`:)PQho(]E  
　　tan（π/2-α）= cotα :$'sP{P Z  
=RbxlrV  
　　cot（π/2-α）= tanα "VItM1^a  
IN~%hh\  
　　sin（3π/2+α）= -cosα {!*Nr#%sb  
$XMod7lQT  
　　cos（3π/2+α）= sinα u;Z'2M+2  
oW!QP};  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 24-&Lzx  
ael<ns6  
　　cot（3π/2+α）= -tanα !rO@ m )Pt  
xoc82_|Pz  
　　sin（3π/2-α）= -cosα NP4K!X!#Xv  
$ FI2  
　　cos（3π/2-α）= -sinα hIBu[~,  
u_>[]W$a  
　　tan（3π/2-α）= cotα Y#A`=B  
nin4F6ZEc4  
　　cot（3π/2-α）= tanα v V#cbXK=  
C|7b] %A  
　　(以上k∈Z) j 4'l: T  
wfA(TJn Q  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 QST d[p8G  
$3-m,caq  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Oj7+y(J0!  
8hgT:R^S  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } Fm8%E&k U  
pdeMxt-F7  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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