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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 3Z}>O  
G nV||E  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. qB't:t]u  
t 6; \E  
　　1、三角函数本质： >->?lg`h  
71@1=zgv  
　　三角函数的本质来源于定义 ,LeXb|jV  
%fg @rTbn  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 l5\hWZ"gA  
1qA!XxZ  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 G<"uj^B 5W  
Z3&@1A  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 7OrE Sb8q  
q^ 8| %Q  
　　推导： "Aq_47DW(3  
OND_B '  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 b54&X~*h\  
/?6aq/hA   
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) =kTkQ`\ip  
8qh=`"Cx  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) |_c/0L2  
n_4P]TuU  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 }|T+lU<^  
E$JQr  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） I$iyrn  
Py ,91JRc&  
　　[1] ZPV* 8  
wo+D~^$$  
　　两角和公式 cp^ DG  
xBEaxm  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB "J>b-txfsY  
,ME+p^ss  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  JCK.C+  
'WT+Jb%  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB fzW TPm  
Ss*6EN,G=  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB @NOg8|[&q  
)~a]MJy  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) DY+>VN1E  
8qz :dV9  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) n2 ]@snXa  
{-*"(pEm  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  x$* A$2sA  
Xijm(C  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) -(8A->h  
O8 8!]H  
倍角公式 [nKA1:B|  
Y{M/j9(_  
　　Sin2A=2SinA•CosA K &\[Te`>  
(jD!r+}13  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 *K yvwz~]  
`iz+]EP  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） b6MmxO7R  
j(n~a|L#  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） `W:)hehO_O  
fI]lg$DF7  
三倍角公式 J!6w6 Kh  
U2|m>i$B  
　　 2 0v.M-b!  
,lAR4jxo  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) }8\L) ~O  
N<e 2`  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) $33El^ig  
atNx#7A{q  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 9)d{aV)  
2&@/e/  
三倍角公式推导 &H8S0>g|  
bkF sYo*  
　　sin3a k MjC aLq  
~`>4~i*  
　　=sin(2a+a) V8~Hp{6A  
<Q$Z;*Usv  
　　=sin2acosa+cos2asina YGgx ^ />  
Mecu._ cj  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina BYRlA |S>  
7Kpc {\  
　　=3sina-4sin³a s|<gq$tG  
w@gZLp#  
　　cos3a 0-Rp;u/  
||+]A|]   
　　=cos(2a+a) tiB]F|Q  
j]$zBHL(&  
　　=cos2acosa-sin2asina 3O *F%e  
g8Q[l2w  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa iOiIlw  
.^"!I`PO  
　　=4cos³a-3cosa [cpIs}a<K  
8 Wp]o*  
　　sin3a=3sina-4sin³a |m1mCy+w  
~F(uw\  
　　=4sina(3/4-sin²a) ^4f,w<~*T  
`Uk FRqJb  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ]nuV7YDW  
q}Uw6mnWwT  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) /mv\k6  
@T|3\?Z  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) O, cyRP  
?C{U[IT|  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] @Qz jKZw  
*T,!jW>(  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) m%pzD'$(4  
]uCx+on-  
　　cos3a=4cos³a-3cosa Pi5dt~& `  
"< M4VsF4  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 9 H1O<!X  
0z)Wtx(up4  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] _cznSbD^  
?;;C#O)#wU  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) k'hci9yE  
g%TN!2vC  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) CQ:'w&9]  
abCVs)ql-T  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} # '$S]M {O  
IQjbI_%V  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) = i< K :l  
$(s8W!!r  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] >/'1$2%k`  
Xx9Af\[  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] _ %mt  
MTKu6_r/  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ySGbSm#B  
+3<:z7#SAH  
　　上述两式相比可得 F4+gXKZ8B  
Zn;I\t<  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) !fJ6'L`@  
As'V9|%)  
半角公式 'atuot  
\wODxsYS  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); wcER3:}  
5$p{j) q  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. >^)o.  
f=*8}pR  
和差化积 O_,<!5E,  
d#_)m-  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] (j Pv@\c%  
-0eK `oE:  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] {BvN}R  
)@K\:,  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Pq)TO~w( ,  
=]V&d+cQU  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] |y*&s[ s  
B~"Vl02)  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) xDyhs  
NWa"[^w7  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) tHoB)jrtmY  
a;&"Zp EhJ  
积化和差 _[]m~6N  
0"P%RY y  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ; oN(gy;  
*&)HEhDo  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ~a&,9 F{  
tKb>B10P  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] %5z&XUM3  
Iphy|c<  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] T` 1hZ@  
QP+*)N2w  
诱导公式 )V3 ^L1S'  
S~:%R'.  
　　sin(-α) = -sinα [c- 6kf  
bUeE;?  
　　cos(-α) = cosα oO'b4 7J$K  
I;gt31y_'  
　　sin(π/2-α) = cosα G;Cz"b|nsV  
44\H8go_#  
　　cos(π/2-α) = sinα J8,5! i .  
Hd\ja34  
　　sin(π/2+α) = cosα an{h 4  
wy\Yby?/|  
　　cos(π/2+α) = -sinα 06:kET$Z-J  
:na-E4  
　　sin(π-α) = sinα _ MbbqJvI  
*/{Dv>N  
　　cos(π-α) = -cosα 1;k])  
h4 .I.dm  
　　sin(π+α) = -sinα AJ&udZJ$  
%Ki/D*z  
　　cos(π+α) = -cosα 6ZK4 =d0  
;- r /Z?  
　　tanA= sinA/cosA HO"F3Lo  
q8 <"I7o  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα k bE&c.bx  
BzK5@-1  
　　tan（π/2－α）＝cotα D85|p_([  
H7^EMe ax  
　　tan（π－α）＝－tanα _ b#|  
us/^XWn  
　　tan（π＋α）＝tanα GYd_SgTn  
+:(rnWF  
万能公式 =2O%NGyqI  
{;yjt;  
　　 }5M dpzi  
+LqF!=}C  
其它公式 *I@t J/.  
{NEsQ#*  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 Pb4-};I&V  
{'Sn_umBN  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 l v]0It  
 |_md.  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 $jGVF%,1X  
)u3^a1  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 R;940x%R/<  
w (r   
　　对于任意非直角三角形,总有 ?.8;_s5#  
J [@6oEQ  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 2RZ{yWlP  
j O*ed  
　　证: G^lI&S m  
:A6jCe  
　　A+B=π-C TLWKC<DA  
pyNnJ"z;  
　　tan(A+B)=tan(π-C) ,Rg[nlZ}8  
/7ne@!  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) * 9sc-(#1  
9 m>3R+  
　　整理可得 P S%|F  
{Ag!f6  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ?M%j&n )  
t44/R"Xz  
　　得证 &7TUGd<Q}  
tePB' -Cl  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ODJUBC-=6L  
enDV65'l  
其他非重点三角函数 ;lE>iB  
{ {To>'  
　　csc(a) = 1/sin(a) rcy66H  
HQ@3Re]5  
　　sec(a) = 1/cos(a) )N.MX 4  
<J*%CV6  
　　 6@pF"l{F  
0-Fb8UKO  
双曲函数 HRGY.BC-  
Et?U(73{  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 n^S lpQ]  
?_MFry"6  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 x<avM   
e:v-+oU  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) d+U9(AC4  
:*E}<Qw  
　　公式一： *sQH5rQ^  
j{.V8'~/  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： }vXBJoin  
6x]>A`%|5  
　　sin（2kπ＋α）= sinα i}NIMU"=  
Swox!((luG  
　　cos（2kπ＋α）= cosα !s pY[`  
F0.i5q_M\  
　　tan（kπ＋α）= tanα /}I::n  
_0ior /  
　　cot（kπ＋α）= cotα 9{Fo~  
8baI@|FWf  
　　公式二： duy7^S?;  
p4 F  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ~M{0v)d  
3;c&y]:.d  
　　sin（π＋α）= -sinα bTiUy W3  
7Ni__+X_  
　　cos（π＋α）= -cosα X/Exxm8G  
6.od)sad  
　　tan（π＋α）= tanα <# S)k  
~B(;F}w  
　　cot（π＋α）= cotα -K006*^:M  
 PMT*po  
　　公式三： ubiMv   
(uC^E#55  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： xBL('0?rwp  
u+G=^*uzN+  
　　sin（-α）= -sinα E$Az79v^  
#T9"MYsW  
　　cos（-α）= cosα - `d8N/  
y r} $o~  
　　tan（-α）= -tanα ^C9.KK+a!.  
Y?6[\+M0R)  
　　cot（-α）= -cotα *Co?g#i3  
YR66 quqS  
　　公式四： ?(y5#a<,  
Lv^ P}jm  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：  Z e6DdR  
ivd@ytz  
　　sin（π-α）= sinα x.bunyr  
m yY_oVE,7  
　　cos（π-α）= -cosα i+3"K:\T  
6#=ley+l  
　　tan（π-α）= -tanα W3qR~2G/c  
^ZmZEom-S  
　　cot（π-α）= -cotα ^ Bfs  
 Rx@Ed@Y  
　　公式五： .?d'DP`i\  
bgnG$e;c  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： "?*W>j   
/Rb*8gcf  
　　sin（2π-α）= -sinα C4uT#XHx  
KI?wc>*  
　　cos（2π-α）= cosα yec5.;  
.a_ }|7Z$  
　　tan（2π-α）= -tanα ^1CFXw3A\$  
ywf\)_*x(  
　　cot（2π-α）= -cotα o-7f GQ;  
}ylz <A{A)  
　　公式六： }un&"F^ r  
`xq_;cP  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： LP<tyWzG  
GFQH*LD"2%  
　　sin（π/2+α）= cosα j"7B]}SD-  
1H\C:  
　　cos（π/2+α）= -sinα cZF@CO>  
k<\H!S,[NQ  
　　tan（π/2+α）= -cotα +`2?3  
kSn q$ 2  
　　cot（π/2+α）= -tanα 0 ~5}*f  
OfDjQ?#O+  
　　sin（π/2-α）= cosα nF 8YXljP  
Q}W]iDALo  
　　cos（π/2-α）= sinα " /X$#8]*  
j=tP<uH$  
　　tan（π/2-α）= cotα Bt+q/22}`  
B[: }w.  
　　cot（π/2-α）= tanα ^1~ *D\  
4L_);-bI  
　　sin（3π/2+α）= -cosα M2I8`qQ  
BQ-u,B<7DB  
　　cos（3π/2+α）= sinα GA;*}cx:  
Q,K5KDOMI  
　　tan（3π/2+α）= -cotα GzCD` y  
Iz nS{:  
　　cot（3π/2+α）= -tanα P84=& I  
Z@^qwyd  
　　sin（3π/2-α）= -cosα W.@aGNuq  
NWjN^9  
　　cos（3π/2-α）= -sinα @TX43%yU  
~N@e2BL  
　　tan（3π/2-α）= cotα WDSj%|6N}  
t ^t7BVea  
　　cot（3π/2-α）= tanα /\iBej'v>  
tlOEfP  
　　(以上k∈Z) *7KP )u  
f5dgNp  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ]ZCGCPr4  
b^ivD6  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = EveUg?dT  
-3F*:Z.*  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } pywx&4{\  
oQXf*`-HI  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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