永福╉留痕

三角函数内容规律 C9H(E,  
nir H+*,  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. F*wN
=Dh  
;2`)z  
　　1、三角函数本质： (xM/W+q
 
HxM\zva  
　　三角函数的本质来源于定义 riNprx1_
 
3,M\}_Xz  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 <%5i(q/Y  
:xN/XsAa  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 : K
Hh3(  
Gyo!RK  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： D6#(nH+  
SZ>ZXN!_  
　　推导： }? BF|  
--~%AT/   
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 I 3?<.6K#e  
 wRV]`]<  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) EYB[3)MkW  
L@Z)"<P  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) G PrV^KbX  
E Fyym9  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 *H|`;Q  
K@5vK@n  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） `or|-`R  
SuULQq  
　　[1] \`_?CZ6F  
//*Kk  
　　两角和公式 * !1,H_B  
=>E|TV4Wd  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB DukKno{v$  
-W,eAPH,)  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ASQY8'&k  
,TDz2vQkq  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ('=qwA}ea  
cOk?xU,wK  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB X|zcA(qp  
XYGW|E,S  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) x7kAx>Q,)  
>,uT0xx<  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cq42(9h:v  
5fOJ"
PV  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  sbDM<}  
-#FtmR*r  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 0Yf0ia23{  
{EOsz|  
倍角公式 oO&PA`  
"\-0=  
　　Sin2A=2SinA•CosA B
'MD  
HkyW #G4~  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 a3KOr[@wXC  
n|.\   
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） &M\M]]2`_  
;@/|9hc  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） `);?B%8<  

sGb U90Rm  
三倍角公式 O Z/5  
"3FUd)X]&  
　　 y9iwr%a(  
+J:=!7?Of  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Q/|  
;K_Z|"~  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) n6"9%E8  
@.aL<*]s  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) EW0B\?7*  
W:I zUBBl2  
三倍角公式推导 [D:H"RO)d  
{?YI C  
　　sin3a Cn)IOHjl  
XX}g{  
　　=sin(2a+a) ^ OSJq
&i  
"kXbC,^  
　　=sin2acosa+cos2asina IobxI  
_G<! r4N3  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina J~J &Ix#1  
O@c;>  
　　=3sina-4sin³a jzI;4J  
&p.\+8*K  
　　cos3a 9sDh#xGy  
@Ndc9dD  
　　=cos(2a+a) 68DK2#PL  
AMyBdFhUc  
　　=cos2acosa-sin2asina .&^#\bw>  
VmeWx:I  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ZA^53"o  
hW8M0Kzp  
　　=4cos³a-3cosa >L;Y4jiUh  
sGn&|y2U  
　　sin3a=3sina-4sin³a T(K8Ovn  
\7F S]i^  
　　=4sina(3/4-sin²a) q yDS  
\|O~i%  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] j'Un3ct #  
~OrnY @X@I  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) /9/\Z9=  
S<@dM7f7  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) H(,64Cu~%  
}3'ZW  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] vnmG)T  
h|@fflqbZ=  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) =w1a6{;H j  
l^jr4Eu  
　　cos3a=4cos³a-3cosa \-<6eU &  
'{i4yBh<  
　　=4cosa(cos²a-3/4) apAS)rk51  
iZ>/B(YPQp  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] gIyQn_r_?X  
R,t0IZ  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 4nu$jy,H  
8p{<OG@  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Go5EWY  
laZRi-:  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} MFnU n  
3+mZB?z`  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) w^0;6<g  
(yt<6TUT  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] x;@QZ|Yr  
*I\0  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] :d';w \W  

[HxlU1is  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) >=eHUdG8H  
-}o"z;>  
　　上述两式相比可得 UZWuQH|P^s  
&M&>hM  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 8aGz^?N  
n[V;v23  
半角公式 3y a.)'gyg  

=o}ycpq  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); R34L  
u5Z\!Q  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. Q|[@w$r  
<fyG6{!  
和差化积 #@i6=w3l"  
pQq_-iFN  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] )NW|X1@8  
LEs=I!+G  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] *d+86 a7  
+)<W"7e8  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 2f1lXHM(5  
;z%#R9g  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] @*=>Xc$w  
QtU*2($N:  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) !WX-?\X  
Z&C<c\nX  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) (x`uWF  
`X&PG7bTD  
积化和差 v)ep0RcT  
 I>23aEVS  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] /5Zo<9*$U  
v@{^02 _  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] soTX`'  
EP rT/Ot?  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] L.wxBMnq^  
Os{QgdLz$  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] p ouIA{g9  
w!A+;cG|  
诱导公式 50^;s[  
h1 3ohQ&\  
　　sin(-α) = -sinα V/r\kz<CR  
CyU:Kd9C  
　　cos(-α) = cosα /
:r_4;  
Onaqj;B |  
　　sin(π/2-α) = cosα DR3M,~jr+  
dD|U<u}  
　　cos(π/2-α) = sinα +"EU_y  
rwv\]'  
　　sin(π/2+α) = cosα -IEu5yQ  
*IgsRA%3d  
　　cos(π/2+α) = -sinα #$Pm/DLn'  
JP~LOR4"/  
　　sin(π-α) = sinα p)>)cE#@X  
4Me |$  
　　cos(π-α) = -cosα ][j)Pdn  
)p> `HhX  
　　sin(π+α) = -sinα edc5]) iGq  
KXvW1s(u  
　　cos(π+α) = -cosα P4U>Vjk  
zD,lCc$r  
　　tanA= sinA/cosA P68#Viu  
85:Mo  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα +wn3>  
kEhj ;^  
　　tan（π/2－α）＝cotα )$ hT$}XWI  
*jpbC#F  
　　tan（π－α）＝－tanα tC6j}OwH:  
qezGSv  
　　tan（π＋α）＝tanα rbt`26#8 [  
ZsI!iy[6  
万能公式 68mx`(e5&  
55TF*b1&x  
　　 amVBW3 7c  
=HCE%0&  
其它公式 E
-L(>S~  
]_M/sk  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 nU=38"t  
2-$bH\'{?  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 9Q<MBs0R  
O2&1H;;rB  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 mCJ5E5  
g!SoETp>7  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 c|*p,uP  
zr2,?j  
　　对于任意非直角三角形,总有 {4%;D
R=G  
()/`P.P_%  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Q{~@Cy+$  
"9Ee.=  
　　证: `x<S_hf  
yO5W  
　　A+B=π-C DteYkW  
C@J:]!ZK  
　　tan(A+B)=tan(π-C) wZ %X%^7UK  
O;NUQW  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) gV
tz#I#7  
;,+g 0rQ  
　　整理可得 T1HQ\G;{L  
*gy H2] i  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC bp0<LXvHg  
YJ:^0\Y&  
　　得证 /d r*(!Fc  
2wJT#HIJ  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 +4DB??}  
r@-EOe g<  
其他非重点三角函数 \\eV=HiK  
,<"yW2`TZ'  
　　csc(a) = 1/sin(a) K1Uzy_fV  
&fvR9CiW_  
　　sec(a) = 1/cos(a) 10u@n)V[  
<Z=zM9jUJ  
　　 ?ak1R a<  
4}$y*=l}8  
双曲函数 }Yu9 mE5  
FmsPn^?d  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ZD1CiiD&z  
RCDH;|}TJ  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ~)rris-1x  
. 0x} k  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) nnS~3' i  
JzJY0dU5  
　　公式一： ?\A!t=] k  
_:SU~+
c  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： G~ R7y&  
m2.&N  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ; Yq ym  
 7-@W5  
　　cos（2kπ＋α）= cosα W" _j[T  
 CPi$;  
　　tan（kπ＋α）= tanα Me-=j9_RS;  
\A+bu{~ "  
　　cot（kπ＋α）= cotα tr/_8Y
T  
y]MrYh-|  
　　公式二： 6nY&"CbgZ  
o^'*F~5Q  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： .{G%re+  
<
|<}
v  
　　sin（π＋α）= -sinα ;*nb)*Vf  
8Q'x  
　　cos（π＋α）= -cosα tOd[ X@\  
 PGPP` +3  
　　tan（π＋α）= tanα -_IrW!3  
,K-B(dFg  
　　cot（π＋α）= cotα A_B:V
Cwn  
y]^(FYJ  
　　公式三： #._pWQ  
J Pzpwi  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
is]xOC  
q M&0 l?  
　　sin（-α）= -sinα nE*nT"  
v7+E\(HV46  
　　cos（-α）= cosα B(KZ_x ss  
)'*kD|W  
　　tan（-α）= -tanα 1?{mD/3?a  
oJlz4  
　　cot（-α）= -cotα >Zr=tk,
J  
7'$AC"  
　　公式四： lk[K(7(/  
^^E3
!@M2u  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： "2B c-  
u1s6)A  
　　sin（π-α）= sinα K0b/Xp?c  
rdtK5O3i  
　　cos（π-α）= -cosα aUZnG"  
VFe;V{9=  
　　tan（π-α）= -tanα 'V~+D7[^  
_k-Q830K  
　　cot（π-α）= -cotα Wx9ppA  
-Lj MMvZ  
　　公式五： z]%o+-  
41}UW'3L}  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： |Ar#eLhA\  
zd=612>  
　　sin（2π-α）= -sinα @iG$ =Wj  
ZbjL2/Bp!  
　　cos（2π-α）= cosα Y@Oxg fX  
PIg%=s<  
　　tan（2π-α）= -tanα 9/]f{J|Ra  
9rX@{$h .  
　　cot（2π-α）= -cotα Mr QnL=[  
:"'n T  
　　公式六： -ooY[|0  
rWM1'*,}  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： Lwx^?2?<  
ZQLhf$O|"  
　　sin（π/2+α）= cosα 29`9g9"  
GAjx|iO,&  
　　cos（π/2+α）= -sinα F(}PI%,  
)L*1zbx?-&  
　　tan（π/2+α）= -cotα ]A7{m)w  
e>.JH  
　　cot（π/2+α）= -tanα " ^Bq2PB  
Dhuqcq  
　　sin（π/2-α）= cosα cCV dLL  
*2bG18n  
　　cos（π/2-α）= sinα KMs7.  
X qY>  
　　tan（π/2-α）= cotα S?P+QJj  
0o$vT_N~R|  
　　cot（π/2-α）= tanα wj!e{Tf;  
)}'CDA@?  
　　sin（3π/2+α）= -cosα CX&vR5"  
OGK\4w+i  
　　cos（3π/2+α）= sinα I!AvXsM;  
B}uputq  
　　tan（3π/2+α）= -cotα RfUbI>Lz  
#RNbU ?  
　　cot（3π/2+α）= -tanα qmvS t,  
mE5n4F.!  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 6m fBt_  
ooZw~Ze  
　　cos（3π/2-α）= -sinα N/~hL9:Q  
&d|ul  
　　tan（3π/2-α）= cotα 1=F  
dKna}}k  
　　cot（3π/2-α）= tanα .o&>FD  
I%]8  
　　(以上k∈Z) Y=CiL@Gt;  
/n+/5.V  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 %S}'z|  
Vc3Z1i  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = F)>KmxH0  
Dr,AyTD  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } FPf}OP=  
yYWj,U  
　　√表示根号,包括{……}中的内容