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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 *AA|/P| /g  
lsqeT8) 1,  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. PVW_H d4e  
R|k; P =?  
　　1、三角函数本质： bF5*y ")  
AFT^4K  
　　三角函数的本质来源于定义 Tr{d;~  
xxpo$l{/  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 7<M* :   
4 /aNLMU  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 K\434u9  
q {&[E@TC+  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 7Tz= 2Si  
F/E hgn  
　　推导： QSfd]4vg  
$SG&zN(8U  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 +5=8u?GB  
r}a_CU  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 5F]9L|TM  
5m2p5;Y  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) DWe)A?  
0 yG8m*r\L  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 Q*~l Wsn  
4f6l^Jdn#  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） Zx7lLbmmm  
`*eLF (]h  
　　[1] rz/.xlfp  
E:Hg.lF  
　　两角和公式 nD=?QeKi  
g(G21 y2  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB e<XS-Fvq]>  
a"R0AW+  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  DPL7(3bo  
|fJm=[   
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB yKPB=2W  
ZT&[MF0M  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Z %XT8  
"Nuac?0RW  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) $ut=hSJ0  
g>2)FvF.W{  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) i:\0CHn8  
eKa4Mw x  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  }YUrR8s:  
*nmW^-NP  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) d&mchw.Y  
d\,u$*}  
倍角公式 a9+7 :kN  
x= =o L  
　　Sin2A=2SinA•CosA !8*(}nyOA  
pK8Ys<^J>  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 j>G~1"&km  
+T#DfO#  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） M% caTqf  
LP#!9gif0  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） r\%z=!d6W  
w":Vv'"V  
三倍角公式 x<5Jx~-  
O37fnM[P;6  
　　 ` kNX+G  
?W&:S} ji  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) }82?!C  
n`?U2Vb  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) |\(G)kB  
oe4w8f.18N  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) [4DGxB0M  
/8Zn;%  
三倍角公式推导 F&]_$-whj  
5>RE  
　　sin3a 4VAv|JE  
vSJ|Ge;V  
　　=sin(2a+a) IP ^<5{JL  
_{IW(WGi  
　　=sin2acosa+cos2asina FD%{L+/  
H44hNX{2W  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina aj|$38X  
fBYi .;  
　　=3sina-4sin³a '-s6vP@SI  
,/UtuM f  
　　cos3a -m6s AC6  
qm p<C\  
　　=cos(2a+a) sq-d%H0.3f  
-_sV 6.  
　　=cos2acosa-sin2asina 0<r$jn17,  
(EWk) 76r  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa W}J;Mx 6  
jT-vJ_Pg  
　　=4cos³a-3cosa RdT(1wrtH(  
w*2(}XO$uO  
　　sin3a=3sina-4sin³a );yV@r2),  
K , 8",r>  
　　=4sina(3/4-sin²a) -?F/\!-@6  
s'M~8G @?  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ~6oqU5HJF  
%4 5[f/  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) -1[Fuj4d  
dXa@Q>  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 8EVj`ND `  
w; f1p)i  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] oE6qVto 9  
kbTuIbt9  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) U!o4|   
#Lc%S  
　　cos3a=4cos³a-3cosa (> 3 -aF7  
hRlN(@  
　　=4cosa(cos²a-3/4) uD`IK   
S.&CtB+=!  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] t< bf.  
^d-p-X1>a  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Od"8+_?yc  
uYo=R9u  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) q6d\D_}3  
!n,|+42w  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ;V E(Na  
Rt|ZajA|a  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) @tgTW!  
NQID45{  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] p (kr< 8  
-B>mh4$z*  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] YiR=@Tpd  
\K.UcZkLt0  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) v# `-Y/  
Y0WNZ~  
　　上述两式相比可得 W_\3( $h  
Wel"&D{(  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) x sXhK)o  
sHEg )wF  
半角公式 5 . Chy%  
rFScozr*g  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); "ndBY+jg  
JS`kI ~cA  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. C>BSuiqXH  
gOtQ7Qndj  
和差化积 eeXA%r=TA  
` $jL9K  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] S3GVf_  
8{ Ij'1h  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] &/*h$jYo-  
JB#\!W .dz  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] N4Qv);r_  
F9 Vn$  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] nb7rG\6Y  
: z>Wnw1"(  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) c(Pq{i TM+  
3? )xN"L<  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) uP-G`"zVP  
*)xqD#%%w  
积化和差 Of^2:'m%  
')$h: "  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 34E2Ng8iI  
6P_NZj   
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] (uiq=  
q}z}|+7  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] H y#V:C$Q  
G&;1N ?,  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Ns];Gyj  
6#Psc AO :  
诱导公式 06,d -m3,  
zV4Fi(3  
　　sin(-α) = -sinα (Hki!  
h *`97K%[  
　　cos(-α) = cosα .):ZgK'15  
aX$ <  
　　sin(π/2-α) = cosα mS!I*'i3q  
3FhWmViz   
　　cos(π/2-α) = sinα @_gFZ T  
;@{i"WNK  
　　sin(π/2+α) = cosα ^)?:~  
75W ?j  
　　cos(π/2+α) = -sinα LShZ}A:=Y  
Xs,jRD*G  
　　sin(π-α) = sinα 6Pyq^K%.)  
rVlWS"sf  
　　cos(π-α) = -cosα &f%mfE%jH-  
a6,Cs;=  
　　sin(π+α) = -sinα 3PCnfpg  
P'fYAe  
　　cos(π+α) = -cosα [_K:D}`  
q%p+^x  
　　tanA= sinA/cosA X!b`,T?   
IpnIM!l  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα l[&)Ys.  
W`EQ.`'0  
　　tan（π/2－α）＝cotα 'Q2RD1d  
] [ISiVj  
　　tan（π－α）＝－tanα Lhe;,8Vx}  
L~Q!^Vtq  
　　tan（π＋α）＝tanα q8 Z;r& 8N  
H%zc;0z3  
万能公式 .\8'(_~4  
, T?ca6  
　　 OC4wb mi  
Pn4^7H  
其它公式 %i~'?p`R  
:Pc\8#/U  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 f: _z wC  
<zxD Y5o  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 0p.8 *P_g  
=0 Xh\  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 )l|{OpOa  
? CAS<g"  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 f5"]]0_+  
EctYenp  
　　对于任意非直角三角形,总有 Y4x-`  
]Iz^F2UH  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC R iE WME  
_blN2 mR  
　　证: _W> n"S  
!aKg= Pn>  
　　A+B=π-C i/nj6gE  
Pk1Zcm  
　　tan(A+B)=tan(π-C) }$ ff0B  
X}cb~m  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ok 9'K&V2  
<bqaJI  
　　整理可得 9f%&   
N DyvAO8L  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Et?Q3V  
Dccq2mlz  
　　得证 c/,e(Y  
,S~^V<JD  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 z+)Y9'cD  
.(:maWp9|  
其他非重点三角函数 r,b(Fe`r_  
m]t:; z r  
　　csc(a) = 1/sin(a) qw b<6l  
CRRyoD|K:  
　　sec(a) = 1/cos(a) SJPO YDc  
iy LL[SrE  
　　 9:b 51xd9  
gjA8|  
双曲函数 "(~E;w"n8*  
*LDhI`zg  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 a7'-9{=eb=  
Ew<Jg>x I  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 nA TG=o  
b,*'[Qs}u  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) LJ 9d *L  
2z1LCP  
　　公式一： m[.yBS S  
e0D}G.>w F  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ubT'[c  
ZTK  v  
　　sin（2kπ＋α）= sinα it9b?K  
,F0t;5  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 8p]WD '  
.|bsI jgc  
　　tan（kπ＋α）= tanα 9uI@o{&ED  
3mc$XoF=  
　　cot（kπ＋α）= cotα 32I*   
u4`.;pB=  
　　公式二： N)<P:x>n  
m}aA2K."  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： !DoJM:n0  
n<C}nj}e5  
　　sin（π＋α）= -sinα Z &2iyP!  
2IXnb+  
　　cos（π＋α）= -cosα f7q.)Go  
[v/# #a  
　　tan（π＋α）= tanα k,X;Z@K:  
$5$ko_  
　　cot（π＋α）= cotα Pi wSL&2s  
=\g0P>M5Gn  
　　公式三： 5x%t"$Kbmh  
MRLCUbvn*  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： \`K*Kdj3  
7m.,Nf'&P  
　　sin（-α）= -sinα 2m<ur%  
7=niK9eR  
　　cos（-α）= cosα l1 ?IuC*  
h+ K0v6  
　　tan（-α）= -tanα 8h<`&q/G  
=TM?r2  
　　cot（-α）= -cotα YwFKGw0  
LeIyK$%Q  
　　公式四： n4X"ZwI>8c  
cZ`aPq  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： eWmJJ\CP  
s i(dL`Z"  
　　sin（π-α）= sinα '<7X"\Py  
H+3 FIig]  
　　cos（π-α）= -cosα ?t BPk_G08  
r4Yd1ic  
　　tan（π-α）= -tanα MR TmJ R  
XjOu]  
　　cot（π-α）= -cotα 1Wdtxm >g  
fGIF {  
　　公式五： 8\?lC`ap  
UX5dK9wQ  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： _1[k/s9ja  
k` Aqr0  
　　sin（2π-α）= -sinα ^nx LV-s+  
[$oc~:p~  
　　cos（2π-α）= cosα .m6Ku[  
3D13d|C  
　　tan（2π-α）= -tanα @ 12`"  
n Bf8g" j  
　　cot（2π-α）= -cotα e:H12TuH  
t `xjf  
　　公式六： }nOJ0VqQ{  
n\ *f,vd}  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： EQt6y1G  
7]^5 zx  
　　sin（π/2+α）= cosα M-Ue[HLNi  
("ya< P?  
　　cos（π/2+α）= -sinα G  7  
&q? wE  
　　tan（π/2+α）= -cotα ?kgS7_?  
-{MCI%  
　　cot（π/2+α）= -tanα @8jPK]/j  
hZ%^)CQ  
　　sin（π/2-α）= cosα `EcRG<4Cz  
STvB91\+}  
　　cos（π/2-α）= sinα `(lc"^%=  
DrS2FK  
　　tan（π/2-α）= cotα hA]147 3  
fjh|+#$5  
　　cot（π/2-α）= tanα r MNN  
G/-5 S  
　　sin（3π/2+α）= -cosα K9;_s  
_&"H* P  
　　cos（3π/2+α）= sinα z &?x_O  
?.iiX 1V  
　　tan（3π/2+α）= -cotα V=F, f+w9  
WL:{@a  
　　cot（3π/2+α）= -tanα d#5M_zP9  
{6Idw=P  
　　sin（3π/2-α）= -cosα y<Z+"#_Ei  
~?P | wjNQ  
　　cos（3π/2-α）= -sinα ZXH Aw8P  
B%}Oo97  
　　tan（3π/2-α）= cotα f*)kYLs2/y  
K[DB]S{C  
　　cot（3π/2-α）= tanα CB3*.}K  
 z9`[p $  
　　(以上k∈Z) P 0>I'h  
Rd(r8p0`  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 =xes;oK/7  
N1$(V  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = NPyK_s  
+g 7."6U  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 6=PbVtPG  
u0kj]h?^  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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